object-is-morphism 범주론 2 - 2-category, Cat, limit/colimit

28 Jun 2026

작성기간: 2026-06-25 ~

범주론 기초를 공부하다 만든 구조가 꽤 예뻐서, 이를 바탕으로 범주론을 정리해보려 한다.

note인 이상, 누구를 위한 설명글보다는 나 스스로 정리하는것에 가깝다.

9. 2-category

여기서 말하는 2-Category는 strict 2-Category를 의미한다.

구성요소

2-Category $\mathcal{B}$는 다음으로 구성되어있다.

• $\operatorname{Bigon}(\mathcal{B})$는 bigon의 collection
• $\operatorname{Edg}(\mathcal{B})$는 edge의 collection
• $\operatorname{Vtx}(\mathcal{B})$는 vertex의 collection
• $\operatorname{Vtx}(\mathcal{B}) \subseteq \operatorname{Edg}(\mathcal{B}) \subseteq \operatorname{Bigon}(\mathcal{B})$

이후 문맥이 분명할 때는 $\mathcal{B}$를 생략하여 $\operatorname{Vtx}$, $\operatorname{Edg}$, $\operatorname{Bigon}$로 쓴다.

Domain, Codomain

• $\operatorname{hdom},\operatorname{hcod}: \operatorname{Bigon} \to \operatorname{Vtx}$
  • $\operatorname{id}_{\operatorname{Vtx}} = \operatorname{hdom}\vert_{\operatorname{Vtx}} = \operatorname{hcod}\vert_{\operatorname{Vtx}}$
• $\operatorname{vdom},\operatorname{vcod}: \operatorname{Bigon} \to \operatorname{Edg}$
  • $\operatorname{id}_{\operatorname{Edg}} = \operatorname{vdom}\vert_{\operatorname{Edg}} = \operatorname{vcod}\vert_{\operatorname{Edg}}$
• $\operatorname{hdom} = \operatorname{hdom} \circ \operatorname{vdom} = \operatorname{hdom} \circ \operatorname{vcod}$
• $\operatorname{hcod} = \operatorname{hcod} \circ \operatorname{vdom} = \operatorname{hcod} \circ \operatorname{vcod}$

For $\alpha\in\operatorname{Bigon}, \ \operatorname{vdom}(\alpha)=f,\ \operatorname{vcod}(\alpha)=g$이면 $\alpha:f\Rightarrow g$

For $f \in\operatorname{Edg}, \ \operatorname{hdom}(f)=a,\ \operatorname{hcod}(f)=b$ 이면 $f:a \to b$ 라고 쓴다.

그림으로는 다음과 같이 나타내볼 수 있겠다.

edge와 vertex도 bigon으로 나타낼 수 있다.

Vertical composition

Vertical composition은 아래와 같이 정의된다.

• $D_v := \lbrace (\beta,\alpha): \operatorname{vdom}(\beta)=\operatorname{vcod}(\alpha) \rbrace \subseteq \operatorname{Bigon}\times\operatorname{Bigon}$
• $\cdot:D_v\to\operatorname{Bigon}$
  • $(\beta,\alpha)\mapsto \beta\cdot\alpha$
• Boundary law ($\beta\cdot\alpha$ exists)
  • $\operatorname{vdom}(\beta\cdot\alpha)=\operatorname{vdom}(\alpha)$
  • $\operatorname{vcod}(\beta\cdot\alpha)=\operatorname{vcod}(\beta)$
• Identity law
  • $\alpha\cdot\operatorname{vdom}(\alpha)=\alpha$
  • $\operatorname{vcod}(\alpha)\cdot\alpha=\alpha$
• Associative law ($\beta\cdot\alpha, \gamma\cdot\beta$ exists)
  • $(\gamma\cdot\beta)\cdot\alpha=\gamma\cdot(\beta\cdot\alpha)$

아래 Boundary law는 공리에서 유도된다.

If $\beta\cdot\alpha$ exists,

• $\operatorname{hdom}(\beta\cdot\alpha)=\operatorname{hdom}(\alpha)=\operatorname{hdom}(\beta)$
• $\operatorname{hcod}(\beta\cdot\alpha)=\operatorname{hcod}(\alpha)=\operatorname{hcod}(\beta)$

그림으로는 아래와 같이 나타내볼 수 있겠다.

For $a,b\in\operatorname{Vtx}$, define

\[\operatorname{Bigon}(a,b):=\lbrace\alpha \in\operatorname{Bigon}:\operatorname{hdom}(\alpha)=a,\ \operatorname{hcod}(\alpha)=b\rbrace.\] \[\operatorname{Edg}(a,b):=\lbrace F \in\operatorname{Edg}:\operatorname{hdom}(F)=a,\ \operatorname{hcod}(F)=b\rbrace.\]

이때 $(\operatorname{Bigon}(a,b), \operatorname{Edg}(a,b), \operatorname{vdom}, \operatorname{vcod}, \cdot)$ 은 category이다.

Horizontal composition

Horizontal composition을 정의한다.

• $D_h := \lbrace (\beta,\alpha): \operatorname{hdom}(\beta)=\operatorname{hcod}(\alpha) \rbrace \subseteq \operatorname{Bigon}\times\operatorname{Bigon}$
• $ * :D_h\to\operatorname{Bigon}$
  • $(\beta,\alpha)\mapsto \beta * \alpha$
• Boundary law ($\beta * \alpha$ exists)
  • $\operatorname{hdom}(\beta * \alpha)=\operatorname{hdom}(\alpha)$
  • $\operatorname{hcod}(\beta * \alpha)=\operatorname{hcod}(\beta)$
  • $\operatorname{vdom}(\beta * \alpha)=\operatorname{vdom}(\beta) * \operatorname{vdom}(\alpha)$
  • $\operatorname{vcod}(\beta * \alpha)=\operatorname{vcod}(\beta) * \operatorname{vcod}(\alpha)$
• Identity law
  • $\alpha * \operatorname{hdom}(\alpha)=\alpha$
  • $\operatorname{hcod}(\alpha) * \alpha=\alpha$
• Associative law ($\beta * \alpha, \gamma * \beta$ exists)
  • $(\gamma * \beta) * \alpha = \gamma * (\beta * \alpha)$

그림으로는 아래와 같이 나타내볼 수 있겠다.

Interchange law

If $\alpha’\cdot\alpha, \beta’\cdot\beta, \beta * \alpha, \beta’ * \alpha’$ exists,

\[(\beta'\cdot\beta) * (\alpha'\cdot\alpha) = (\beta' * \alpha')\cdot(\beta * \alpha)\]

그림으로는 아래와 같이 나타내볼 수 있겠다.

그저 경계를 따라 위아래로 이어붙이는것을 명확히해주는 규칙들일 뿐이다.

10. 2-category $\text{Cat}$

앞서 category $\text{Cat}$에 대해 적당히 넘긴건, 우리가 다룰 공간은 2-category $\text{Cat}$이기 때문이다.

또한 우리는 Category를 Functor로, Functor을 Natrual transformation으로 보는 법을 이해했다.

그렇기에 그냥 죄다 자연변환으로 나타내보면 된다.

여기서부터는, 식보다는 그림을 먼저보는편이 낫다.

이런 느낌으로, 자연변환을 이어붙일수 있다.

??. normal bicategory

normal bicategory는, 2-category에서 horizontal associativity를 약화시키고 아래 구조를 지닌다.

우선, associativity는 아래와 같이 약화된다.

• Associative law
  • $(\gamma * \beta) * \alpha \cong_v \gamma * (\beta * \alpha)$

Associative가 $=$가 아니라, $\cong_v$임에 유의하자.

여기서 중요한 부분은 같은지는 몰라도, vertical composition을 통해 원래대로 돌릴수 있다는거다.

For $f, g, h \in \operatorname{Edg}$, associator $A_{h,g,f}$

• $A_{h,g,f} : (h * g) * f \to h * (g * f)$
• $A_{h,g,f}$ is isomorphism
  • $A_{h,g,f}^{-1} \cdot A_{h,g,f} = (h * g) * f$
  • $A_{h,g,f} \cdot A_{h,g,f}^{-1} = h * (g * f)$
• Naturality law
  • $A_{h’,g’,f’} \cdot ((\gamma * \beta) * \alpha) = (\gamma * (\beta * \alpha)) \cdot A_{h,g,f}$
• Pentagon law
  • $A_{k,h,g * f} \cdot A_{k * h,g,f} = (k ∗ A_{h,g,f}) \cdot A_{k,h ∗ g,f} \cdot (A_{h,g,f} * k)$
• Normalization
  • If $g \in \operatorname{Edg}$, $A_{h,g,f} = h * f$

아래 Normalization은 유도된다

• If $f \in \operatorname{Edg}$, $A_{h,g,f} = h * g$
• If $h \in \operatorname{Edg}$, $A_{h,g,f} = g * f$

Naturality law는, 다음 diagram이 commute한다는 이야기다.

즉, 아래 둘이 같다는걸 의미한다.

Pentagon law는, 다음 diagram이 commute한다는 이야기다.

즉, 아래 둘이 같다는걸 의미한다.