left R-module에서 span에 관한 고찰, 범주론 초급

20 Jun 2026

Hindman’s theorem에 대한 글을 써보다가, 아예 별개의 주제로 좀 긴 글이 되어버려서 분리했다.

완비격자, 위상수학의 subbasis, basis개념과 left $R$-module이라는 개념에 대한 이해를 전제한다.

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subbasis -> basis 구축과 span 사이 관련성

위상공간 $X$가 주어졌다고 하자. $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(X)$를 subbasis라 하면 basis는

\[\mathcal{B} := \left\{ \bigcap \mathcal{F} : \mathcal{F} \subseteq \mathcal{S}, |\mathcal{F} | < \infty \right\} (\bigcap \varnothing = X)\]

와 같이 생성해볼 수 있고,

환 $R$과 left $R$-module $M$, $S \subseteq M$에 대하여

\[\operatorname{span}_R(S) = \left\{\sum_{s \in F}r_ss : F \subseteq S, |F| < \infty, r_s \in R \right\}\]

로 쓸 수 있다. 벡터공간이나 가환환 $R$의 module에서의 span이 더 익숙하고 중요하지만,
이 연산의 특수형이다.

여기서 span의 $Rs$를 subbasis의 원소처럼 생각해보면- 둘을 겹쳐서 볼 수 있다.

\[\sum_{s \in F}Rs := \left\{\sum_{s \in F}r_ss : r_s \in R \right\}\]

로 두면

\[\operatorname{span}_R(S) = \bigcup \left\{ \sum_{s \in F}Rs : F \subseteq S, |F| < \infty \right\}\]

와 같이 써볼 수 있다.

둘의 연결성은, 조건을 만족하는 제일 작은 집합으로써 볼때 훨씬 뚜렷해진다.
이때는 정의 자체에 유한성 조건도 필요가 없어진다.

우선 basis의 경우, $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ is meet-closed iff:

1. $X \in \mathcal{F}$
2. $A, B \in \mathcal{F} \Rightarrow A \cap B \in \mathcal{F}$

라고 하자. 이때 subbasis $\mathcal{S}$ 가 만드는 basis $\mathcal{B}$는

\[\mathcal{B} = \bigcap \left\{ \mathcal{F} : \mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}, \mathcal{F} \text{ is meet-closed} \right\}\]

span의 경우, $N \subseteq M$ is submodule iff:

1. $0 \in N$
2. $s, t \in N \Rightarrow s+t \in N$
3. $r \in R, s \in N \Rightarrow rs \in N$

이다. 이때 $(N, +_M, \cdot_M)$은 left $R$-module이며, 이때

\[\operatorname{span}_R(S) = \bigcap \left\{ F : S \subseteq F, F \text{ is submodule} \right\}\]

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‘유한합’이 대체 왜 같은건데?

뭔가 후자쪽이 구조적으로 더 깔끔하다는 느낌은 들지만,
저걸로 무슨 원소가 들어가게 될지에 관한 직관이 오지는 않는다.

우선, 둘이 같은 이유에 대한 증명은 직접 구성 후 아래 2가지,

• 구성된 basis/span가 meet-closed/submodule 조건을 만족한다
• 생성자를 포함하고 조건을 포함하면 구성된 basis/span을 반드시 포함해야한다

와 같은 경로가 제일 쉬울것 같다.(사실 안해봐서 모른다) 하지만 좀더 구조적인 증명을 해보자.

조금 더 목표를 명확히 말해보자면, 이 절의 목표는 다음과 같다.

• 이미 알려진 정답을 검산하는 구조를 피한다.
• 우리가 알고있는 성질들 만으로 정답을 도출해낸다.

이 부분에 대해 집착하는 이유는,

• 그저 답에 대해 검산을 하는건 그냥 정리를 외우는거랑 차이를 잘 모르겠다
• 범주론에서 쓰이는 구조의 동기나 이해를 위한 발판으로 쓰일 수 있을것 같다,
  다만 당연히 범주론을 모르니 확신은 없다.

submodule은 완비격자다

$\operatorname{sub}_R(M)$ 을 M의 submodule들의 집합으로써 정의한다. 이때

1. $(\operatorname{sub}_R(M), \subseteq)$는 완비격자이다.
2. $\mathcal{S} \subseteq \operatorname{sub}_R(M)$에 대해 하한연산은 다음과 같다

\[\bigwedge \mathcal{S} := \bigcap \mathcal{S}\]

proof.

우선, 2단계를 거쳐서 증명한다.

1. 해당 연산은 $\operatorname{sub}_R(M)$의 멱집합에서 스스로로 보내는 연산이다
2. $\operatorname{sub}_R(M)$에서의 하한 연산이다.

2번의 경우 임의 교집합의 정의상 포함 순서관계에 대한 하한의 조건을 만족하므로 자명하다고 보자.

1번의 경우, $x \in \bigcap \mathcal{S} \Leftrightarrow {}^{\forall}S \in \mathcal{S}, x \in S $에서 시작한다.

1. ${}^{\forall}S \in \mathcal{S}, 0 \in S$이므로 $0 \in \bigcap \mathcal{S}$
2. $x, y \in \bigcap \mathcal{S}$ 라면 ${}^{\forall}S \in \mathcal{S}$에 대하여 $x, y \in S \Rightarrow x+y \in S$, 즉 $x+y \in \bigcap \mathcal{S}$
3. $r \in R, x \in \bigcap \mathcal{S}$ 라면 ${}^{\forall}S \in \mathcal{S}$에 대하여 $x \in S \Rightarrow rx \in S$, 즉 $rx \in \bigcap \mathcal{S}$

따라서 $\bigcap \mathcal{S} \in \operatorname{sub}_R(M)$이며, $\bigwedge: \mathcal{P}(\operatorname{sub}_R(M)) \rightarrow \operatorname{sub}_R(M)$ 이 하한연산이 된다.

$\square$

이제, 하한연산으로부터 상한연산을 유도해볼 수도 있다.

\[\begin{align*} \bigvee \mathcal{S} &= \bigwedge \{N \in \operatorname{sub}_R(M) : {}^\forall S \in \mathcal{S},\ S \subseteq N\} \\ &= \bigcap \{N \in \operatorname{sub}_R(M) : \bigcup \mathcal{S} \subseteq N\} \end{align*}\]

아쉽게도 $\bigcap \mathcal{S}$과 다르게 $\bigcup \mathcal{S}$는 보통 $M$의 submodule이 아니다.
다만 아래와 같은 보조정리 정도는 얻어낼수 있다.

완비격자 $(\operatorname{sub}_R(M), \subseteq)$와 $\mathcal{S} \subseteq \operatorname{sub}_R(M)$에 대해,

\[\bigvee \mathcal{S} = \bigcup \mathcal{S} \Leftrightarrow \bigcup \mathcal{S} \in \operatorname{sub}_R(M)\]

proof.

정방향의 경우 $\bigvee \mathcal{S} \in \operatorname{sub}_R(M)$에 따라나온다.

역방향은 $\bigcup \mathcal{S}$ 스스로가 집합에 포함되어 따라나온다.

아무튼 상한은 $\bigcup \mathcal{S}$을 포함하는 가장 작은 submodule이며, 유한합과 같은 구조로써 나타내진다.

상한 연산으로 보는 span

완비격자 $(L, \le)$, $A \subseteq L$에 대하여 다음은 참이다:

\[\bigvee A = \bigvee \left\{\bigvee F : F \subseteq S,\ |F| < \infty \right\}\]

상한연산 하나도 머리아픈데 굳이 2개로 늘린 이유가 뭘까?
이게 우리가 목표로 하는 구조와 연결되기 때문이다.

우선, $S_1, S_2 \in \operatorname{sub}_R(M)$에 대하여, 이들의 합은 다음과 같이 정의된다:

\[S_1 + S_2 := \left\{s_1 + s_2 : s_1 \in S_1, s_2 \in S_2\right\}\]

그리고, $\mathcal{S} = \lbrace S_1, S_2, \cdots, S_k\rbrace \subseteq \operatorname{sub}_R(M)$에 대해

\[\sum_{S_i \in \mathcal S} S_i = S_1 + S_2 + \cdots + S_k\]

와 같이 써볼 수 있다.
우리가 목표로 할 실제 상한연산은 다음과 같다:

\[\bigvee \mathcal{S} = \bigcup \left\{ \sum_{S \in \mathcal{F}}S : \mathcal{F} \subseteq \mathcal{S}, |\mathcal{F}| < \infty \right\}\]

사실 $\operatorname{span}_R(S)$의 경우도 여기서 따라나온다.

\[\begin{align*} \operatorname{span}_R(S) &= \bigvee \lbrace Rs : s \in S \rbrace \\ &= \bigcup \left\{ \sum_{s \in F}Rs : F \subseteq S, |F| < \infty \right\} \end{align*}\]

$s$를 포함하는 module이 반드시 $Rs$를 포함하게 되기 때문에, 저런식의 구조가 나온다.

다시 상한연산을 보자. 다음 family를 정의해보자.

\[\mathcal{D} := \left\{\bigvee \mathcal{F} : \mathcal{F} \subseteq \mathcal{S},\ |\mathcal{F}| < \infty \right\}\]

이때, $\bigvee \mathcal{S} = \bigvee \mathcal{D}$ 이다.

사실 $\mathcal{D}$의 성질 덕분에, 이 상한 연산은 우리가 얻어둔 보조정리를 통해 union으로 바꿀 수 있다.

Directed family의 join

우선 완비격자 $(L, \le)$에서 $A \subseteq L$ is directed family iff:

1. $A \neq \varnothing$
2. $a, b \in A \rightarrow {}^{\exists}c \in A,\ a \le c,\ b \le c$

우리가 사용할 보조정리들을 증명해보자.

완비격자 $(L, \le)$에서 $A \subseteq L$에 대해,

$D := \left\lbrace\bigvee F : F \subseteq A,\ \vert F \vert < \infty \right\rbrace$ 는 directed family

proof.

우선 $\varnothing \subseteq A$이고 $\vert \varnothing \vert< \infty$이므로

\[\bigvee \varnothing \in D.\]

따라서 $D\neq\varnothing$이다.

For any $d_1,d_2\in D$, there is some $F_1,F_2\subseteq A$ such that

\[d_1=\bigvee F_1,\qquad d_2=\bigvee F_2\]

by definition of $D$.

$F_1\cup F_2$도 $A$의 finite subset이므로 $\bigvee(F_1\cup F_2) \in D$ 이며,

\[\bigvee(F_1\cup F_2) = \bigvee \{\bigvee F_1, \bigvee F_2 \} = d_1 \lor d_2\]

즉, $d_1 \lor d_2 \in D$이며, 따라서 $D$는 directed family이다. $\square$

사실 $d_1 \lor d_2 \in D$는 $D$가 directed family인것보다 훨씬 강한 결론이다만, 당장 논할 부분은 아니다.

$\mathcal{D}\subseteq \operatorname{sub}_R(M)$가 directed family라면

\[\bigcup \mathcal{D} \in \operatorname{sub}_R(M)\]

proof.

\[U:=\bigcup_{D\in\mathcal{D}}D\]

라고 두자. 우선 $U$가 $M$의 submodule임을 보이자.

$\mathcal{D}$는 directed family이므로 특히 공집합이 아니다. 따라서 어떤 $D_0\in\mathcal{D}$가 존재하고, $D_0$는 submodule이므로 $0\in D_0\subseteq U$이다. 따라서 $0\in U$.

이제 $x,y\in U$라 하자. 그러면 어떤 $D_1,D_2\in\mathcal{D}$가 존재하여

\[x\in D_1,\qquad y\in D_2\]

이다. $\mathcal{D}$가 directed family이므로, $D_1,D_2$를 동시에 포함하는 어떤 $D_3\in\mathcal{D}$가 존재한다. 즉

\[D_1\subseteq D_3,\qquad D_2\subseteq D_3\]

이다. 따라서 $x,y\in D_3$이고, $D_3$는 submodule이므로

\[x+y\in D_3\subseteq U.\]

또한 $r\in R$, $x\in U$라 하자. 그러면 어떤 $D_1\in\mathcal{D}$가 존재하여 $x\in D_1$이다. $D_1$는 submodule이므로

\[rx\in D_1\subseteq U.\]

따라서 $\bigcup \mathcal{D} \in \operatorname{sub}_R(M)$,
\(\therefore \bigvee \mathcal{D}=\bigcup \mathcal{D}\)

$\square$

여기다 상한에 대해 만들어둔 보조정리까지 합치면, $\mathcal{D}$는 directed set이므로

\[\begin{align*} \bigvee \mathcal{S} &= \bigvee \mathcal{D} = \bigcup \mathcal{D} \\ &= \bigcup \left\{\bigvee \mathcal{F} : \mathcal{F} \subseteq \mathcal{S},\ |\mathcal{F}| < \infty \right\} \end{align*}\]

이다. 막막해보였던 상한연산 중 하나가 사라졌다!

상한 연산을 2개로 늘렸던 이유는 위 성질들 덕분에,
이제 우리는 유한개의 join에 대하여, 다르게 말해 binary join에 대해서만 이해하면 되기 때문이다.

left $R$-module간 $R$-linear map

여기서, 좀 재미있는 관점의 전환을 가져와볼 수 있다.

$M$의 submodule들만 생각하는게 아니라, 모든 left $R$-module 에 관해서 생각해보자!

left $R$-module $N$, $M$이 주어졌다고 하자. 이때,

\[\begin{align*} f:N\rightarrow &M \text{ is } R\text{-linear map}\\ \Leftrightarrow &f(x +_N y) = f(x) +_M f(y), \\ &f(r \cdot_N x) = r \cdot_M f(x) \end{align*}\]

두 모듈간의 연산은 다른 객체이기 때문에, 기호가 약간 더럽지만 조금만 참아보자.

그리고 $L, N \in \operatorname{sub}_R(M)$에 대하여, $L \subseteq N$이라 하자.

이때, 우리는 다음과 같은 되게 자연스러운 포함사상을 생각해볼수 있다. L의 원소를 그대로 뱉는 함수이고, 단사이다.

\[\iota_L^N: L \hookrightarrow N\]

그리고, 두 모듈 모두 $+_M, \cdot_M$을 공유하므로 $\iota_L^N$는 $R$-linear map이면서, $L \in \operatorname{sub}_R(N)$이 된다.
이런 관계를 $L \le_R N$로 표기하기도 한다.

그러니까, 우리가 여태 다룬 완비격자가 곧 $(\operatorname{sub}_R(M), \le_R)$이 되는 셈이며,

\[S_1 \lor S_2 = \bigwedge \{N \le_R M : S_1 \le_R N,\ S_2 \le_R N\}\]

와 같이 써볼 수 있다.

하지만, $\le_R$을 조금 더 일반화해서 생각하면, 그냥 단사인 $R$-linear map의 존재성으로 생각해볼 수 있겠다.

굳이 격자를 벗어나는 이유는, 단순하다. 격자 안에서 작업하는게 너무 지랄맞았다.

분해하자앗

이어서 논해보자.

left $R$-module $N, M$은, injective $R$-linear map $g: $N \le_R M$, $f: P \to M$이 $R$-linear map이라 하자.

$\operatorname{im}(f) \subseteq N$의 필요충분조건은
$\iota_N^M \circ \bar f = f$ 을 만족하는 $R$-linear map $\bar f: P \to N$의 존재이다.

이때, 그러한 $\bar f$은 유일하다.

또 다른 중요한 정리는 다음이다:

$f: P \to M$이 $R$-linear map에 대하여,

$\operatorname{im}(f) = \bigwedge \lbrace N \le_R M : {}^{\exists}\bar f:P \to N,\ \iota_N^M \circ \bar f = f\rbrace$

둘 모두 증명을 우선 건너뛰도록 하겠다.

그럼 이제 $S_1, S_2 \in \operatorname{sub}_R(M)$에 대해, 다음을 정의하자.

\(\mathcal{J} := \{N \le_R M : S_1 \le_R N,\ S_2 \le_R N\}\) \(J:= S_1 \lor S_2 = \bigwedge \mathcal{J}\)

이때, 뭔가 $\operatorname{im}(f) = \bigwedge \mathcal{J}$가 되는 $f$를 잡아보고 싶지만, 그

\[g \circ \iota_{S_1}^J = \iota_{S_1}^M ,\qquad g \circ \iota_{S_1}^J = \iota_{S_2}^M\]

을 만족하는 $R$-linear map $g: J \to M$가 존재한다.

거기다 $N \in \mathcal{J}$임은 다음과 동치이다:

\[\iota_N^M \circ \bar g = g\]

을 만족하는 $R$-linear map $g$가 존재한다.

또한, 다음을 만족하는 사상 $\pi_i:J \to S_i$를 정의해보자

\[\begin{align*} &\pi_1 \circ \iota_{S_1}^J = \operatorname{id}_{S_1}, \qquad \pi_1 \circ \iota_{S_2}^J = 0 \\ &\pi_2 \circ \iota_{S_1}^J = 0, \qquad \quad \pi_2 \circ \iota_{S_2}^J = \operatorname{id}_{S_2} \end{align*}\]

사상이 하나인 경우는 $\operatorname{im(f)}$가 곧 하한이 되어 깔끔하게 떨어지지만,
$\mathcal{J}$의 경우는 두개의 사상에 대한 존재를 요구하니 이들을 어떻게든 하나로 묶어야한다.

아 첫 법칙을 결국 부분 모듈인거 뿐만이 아니라 전사 $R$-linear map의 존재성으로 강제되는 성질로써 확장시키고, 그래서 우리가 $S_1 \times S_2$를 $R$-module로써 만든 뒤 그걸 $M$으로 보낸 image를 가지고 논하면 됨.

근데 이과정에서 universal property든, coproduct든에 대해 좀 이해하는 방향성에 대해 얼추 감은 잡았는데 너무 귀찮네.